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| PIANO PER TRE PUNTI NON ALLINEATI E NON COINCIDENTI |
2. Struttura dell'algoritmo grafico
3. Sviluppo dell'algoritmo grafico
4.1. Esercizio n° 1- Progressione dei passi
4.2.. Esercizio n°2- Progressione dei passi
Perché i punti assegnati definiscano il piano, deve accadere che i punti appartengano al piano, quindi deve verificarsi, a conclusione della procedura, la seguente legge di appartenenza e/o relativa contenenza.
Assegnati, pertanto, tre punti comunque collocati nello spazio dei diedri, il problema si risolve sviluppando i passaggi sintetizzati nello schema sottostante del relativo algoritmo grafico.
2. STRUTTURA DELL'ALGORITMO GRAFICO
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Algoritmo grafico e relativi passi operativi |
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3. SVILUPPO DELL'ALGORITMO GRAFICO
| Progressione dei passi- esempio | ||||||
| Dati | Primo passo | Secondo passo | Terzo passo | Quarto passo | Verifica | Risultato |
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Sviluppo
dell’algoritmo |
Operazioni
grafiche relative |
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| Dati |
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Siano assegnati tre punti A(A’; A”), B(B’; B”), C(C’; C”) comunque collocati nello spazio dei diedri. I punti possono essere collocati, indifferentemente, nel medesimo diedro o in diedri differenti.
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| Pri |
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Ricordando che per due punti, non coincidenti, passa una ed una sola retta, si definiscono per i punti assegnati due segmenti distinti appartenenti a due rette x ed y, secondo la legge di appartenenza, come di seguito esplicitato: (AB Î x); (BC Î y)
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| Secondo passo |
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Estendendo i segmenti definiti mediante le proiezioni dei punti A,B,C assegnati (essi rappresentano gli estremi dei segmenti) si completa la rappresentazione delle rette x ed y definendone le tracce come di seguito.
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| Passo terzo | |||||
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Poiché le tracce del piano (t1a) e (t2a) sono rette reali ottenute come
sommando le due tracce prime e le due tracce seconde si definiscono due segmenti che identificano le direzioni delle tracce, del piano che si ricerca, sui piani di proiezione p1 e p2
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| Passo quarto | |||||
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Estendendo i segmenti, identificati al passo precedente, si determinano le due tracce del piano (t1a e t2a) che intersecano la linea di terra (lt) nel medesimo punto.
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| Verifica | |||||
| Definite
le due tracce rappresentative del piano e controllato che si intersecano
sulla lt nel medesimo punto, è necessario effettuare la verifica mediante
la legge della contenenza tra punto e piano espressa come di seguito:
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| Risultato |
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| Effettuata la verifica con esito
positivo si possono assumere le tracce del piano come gli elementi
geometrici rappresentativi del piano passante per i tre punti (A, B, C)
assegnati in quanto accade che:
come era richiesto dal problema descrittivo |
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Seguono due
esemplificazioni grafiche con i punti
collocati in differenti diedri ed assegnati mediante i valori di quota ed
aggetto.
| Esercizio n° 1 - Progressione dei passi | |||||
| Dati | Primo passo | Passi due e tre | Passo quattro | Verifiche | Risultato |
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Esercizio n° 1 - Piano per tre punti collocati in tre diversi diedri |
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Siano assegnati i seguenti punti, nei differenti diedri, mediante i valori di quota ed aggetto.
A(A’=58,5; A”=30,0)
B(B’=-40,9; B”=97,5)
C(C’=78,0; C”=-58,5)
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| Esercizio 1 - Passaggio1 | ||
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Si individuano due segmenti consecutivi aventi, ad esempio, il punto B in comune. AB(A’B’: A”B”)
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| Esercizio 1 - Passaggi 2 e 3 | ||
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Estendendo i segmenti si definiscono tutti gli elementi descrittivi delle rette che li contengono ed in particolare le tracce. [(A’B’Îr’),(A”B”Îr”)] [(T1rÎr’), (T2rÎr”)] [(B’C’Îs’),(B”C”Îs”)] [(T1sÎs’),(T2sÎ s”)] |
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| Esercizio 1 - Passaggio 4 | ||
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Con il passaggio precedente si individuano quattro tracce che, geometricamente, sono quattro punti reali. Poiché per definire una retta sono necessari due punti distinti, collegando
(T1r +T1s)
si determina t1a. Allo stesso modo collegando (T2r +T2s)
si determina t2a. Le due rette (tracce del piano) devono intersecare la lt nel medesimo punto (punto unito). a (Ðp+1 Ðp+2) |
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| Esercizio 1 - Verifiche | ||
| La verifica grafica,
effettuata mediante le condizioni di appartenenza, risulta congruente sia
con il problema geometrico (piano per tre punti) sia con il fine
descrittivo (ricerca del piano) che con l'aspetto rappresentativo
(definizione delle tracce).
Le due rette (r ed s), infatti, appartengono al piano perchè le rispettive tracce (punti reali) stanno sulle tracce del piano (rette reali) e i punti assegnati appartengono alle rette in quanto le proiezioni degli stessi stanno sulle rispettive proiezioni delle rette. Quindi possiamo sintetizzare che (A,B,C)Î(r,s)Îa e pertanto poichè (A,B,C)Îa, il piano passa per i tre punti (A, B, C) assegnati.
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| Esercizio 1 - Risultato | ||
| Dallo studio delle tracce
del piano possiamo risalire, poi, alla tipologia descrittiva del piano che
risulta essere un "piano
generico nel primo diedro" con le seguenti caratteristiche
geometriche:
( Ð p 1+ Ð p2+ ) |
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| Esercizio n° 2 - Progressione dei passi | |||||
| Dati | Primo passo | Passi due e tre | Passo quarto | Verifica | Risultato |
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Esercizio n° 2 - Piano per tre punti collocati in tre diversi diedri |
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| Esercizio 2 - Dati |
Torna a esercizio 2 | |
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Siano assegnati i seguenti punti A(A’; A”), B(B’; B”), C(C’; C”) nei differenti diedri, mediante i valori di quota ed aggetto. A(A’=60; A”=90)
Secondo diedro B(B’=-40; B”=90)
Quarto diedro C(C’=80; C”=-60)
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Si individuano due segmenti consecutivi aventi, ad esempio, il punto B in comune. AB(A’B’:
A”B”) BC(B’C’;
B”C”)
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| Esercizio 2- Passaggi 2 e 3 | ||
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Estendendo i segmenti che hanno per estremi i punti assegnati si definiscono tutti gli elementi descrittivi delle rette che li contengono ed in particolare le tracce T1r; T2r, T1s; T2s delle rette r ed s contenenti i segmenti. [(A’B’Îr’),(A”B”Îr”)] [(T¥1rÎr’), (T2rÎr”)] [(B’C’Îs’),(B”C”Îs”)] [(T1sÎs’), (T2sÎ s”)] |
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| Esercizio 2 – Passaggio 4 | ||
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Con il passaggio precedente si individuano quattro tracce che, geometricamente e generalmente sono quattro punti reali. In questo caso, però, la traccia T¥1r è un punto improprio; ciò vuol dire che la retta r è parallela a p1 (quindi è una retta orizzontale) e pertanto la traccia t1a avrà come punto di applicazione la T1s mentre la T¥1r ci suggerisce che la direzione della t1a si disporrà in modo parallelo ad r’ perché (T¥1r Î r’).
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| Esercizio 2 - Verifica | ||
| La verifica grafica,
effettuata mediante le condizioni di appartenenza, risulta congruente sia
con il problema geometrico (piano per tre punti) sia con il fine
descrittivo (ricerca del piano) che con l'aspetto rappresentativo
(definizione delle tracce).
Le due rette (r ed s), infatti, appartengono al piano perchè le rispettive tracce (tre punti reali ed un punto improrio (T¥1r) stanno sulle tracce del piano (rette reali) e i punti assegnati appartengono alle rette in quanto le proiezioni degli stessi stanno sulle rispettive proiezioni delle rette. Quindi possiamo sintetizzare che (A,B,C)Î(r,s)Îa e pertanto poichè (A,B,C)Îa, il piano passa per i tre punti (A, B, C) assegnati. Essendo la retta r una retta orizzontale, la (T¥1r) è un punto improprio; pertanto la t1a si identifica mediante una retta parallela ad r' applicata nel punto T1s. |
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| Esercizio 2 - Risultato | ||
| Dallo studio delle tracce
del piano possiamo risalire, poi, alla tipologia descrittiva del piano che
risulta essere un "piano
generico nel primo diedro" con le seguenti caratteristiche
geometriche:
( Ð p 1+ Ð p2+ ) |
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