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ALGORITMO GRAFICO PER LA RICERCA DEL PIANO PASSANTE PER UNA RETTA ED UN PUNTO AD ESSA NON APPARTENENTE
Ricerca impostata SUL PARALLELISMO tra due rette |
2. Struttura dell'algoritmo grafico
3. Sviluppo dell'algoritmo grafico
4.1. Esercizio n° 1- Progressione dei passi
4.2.. Esercizio n°2- Progressione dei passi
1. Premessa
Siano assegnati i seguenti elementi geometrici: una retta r ed un punto P ad essa non appartenente per i quali condurre un piano a.
Avendo necessità di definire le quattro tracce (punti) di due rette e avendo a disposizione una retta solamente, si pone il problema di come individuare, tra le infinite rette di una stella avente il punto P come centro, una seconda retta passante per il punto assegnato e in grado di contribuire alla risoluzione del problema geometrico-descrittivo.
Allora tra le infinite rette della stella se ne sceglie, a piacere, una che sia parallela alla retta assegnata. In questo modo si ricade nella procedura, già analizzata, della ricerca di un piano passante per due rette parallele. Così operando a conclusione della procedura deve verificarsi quanto di seguito:
Assegnati, quindi, la retta r ed il punto P ad essa non appartenente il problema si risolve mediante i passi sintetizzati nello schema del relativo
algoritmo grafico sottostante.
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2. Struttura dell'algoritmo grafico
| Algoritmo grafico |
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3. Sviluppo dell'algoritmo grafico
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Progressione dei passi dell'algoritmo grafico - esempio |
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| Dati | 1° Passo | 2° Passo | 3° Passo | 4° Passo | Verifica | Risultato |
| Sviluppo dell'algoritmo | Operazioni grafiche relative | |
| Dati | Torna in alto | Torna ad esempio |
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Siano assegnati la retta generica r analizzata nel secondo diedro (T1r= negativo) r(r’; r”; -T1r; T2r)
ed il punto A Ï r collocato nello spazio del primo diedro |
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| Primo passo | Torna in alto | Torna ad esempio |
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Tra le infinite rette della stella, passanti per il punto A(A’; A”), si sceglie l’unica retta s(s’,s”) che applicata nel punto dato si disponga parallela alla retta data rispondendo alla seguente formalizzazione:
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| Secondo passo | Torna in alto | Torna ad esempio |
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Poiché, dal punto di vista descrittivo, una retta è univocamente definita quando si conoscono sia le proiezioni sia le tracce della retta stessa; si completa la rappresentazione della retta s(s’; s”) presentata mediante le proiezioni ricercandone le due tracce T1s e T2s :
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| Terzo passo | Torna in alto | Torna ad esempio |
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Ottenute le tracce (che dal punto di vista geometrico sono punti reali) della retta s si collegano le due tracce prime delle rette r ed s per ottenere un segmento di retta che definisce la direzione della t1a su p1 e le due seconde tracce delle rette r ed s per ottenere un segmento di retta che determina la direzione della t2a su p2
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| Quarto passo | Torna in alto | Torna ad esempio |
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Poiché le tracce del piano (t1a) e (t2a) sono rette reali ottenute come:
Estendendo all'infinito i segmenti così ottenuti si determinano le tracce del piano a come:
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| Verifica | Torna in alto | Torna ad esempio |
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Determinate le tracce rappresentative del piano e controllato che sia un punto unito alla lt o un punto improprio, è necessario eseguire la verifica mediante la legge della contenenza che lega i tre elementi: la retta r, il punto A e la retta s rispettando il passo di verifica che vuole
Si verifica che il piano contiene sia la retta r data sia la retta s che contiene, a sua volta, il punto P.
Quindi, nel caso in esame si ha:
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| Risultato | Torna in alto | Torna ad esempio |
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In questo caso per la retta r ed il punto A passa un piano generico collocato nel primo diedro che può essere descritto in questo modo:
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Seguono due applicazioni grafiche con differenti tipologie di elementi geometrici
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Progressione dei passi dell'algoritmo grafico - esercizio n° 1 |
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| Dati | Primo passo | Secondo passo | Terzo passo | Quarto passo | Verifiche | Risultato |
| ESERCIZIO N° 1 - Piano per retta generica ed un punto entrambi nel primo diedro | ||
| Esercizio 1 - Dati | Torna in alto | Torna ad esercizio 1 |
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Siano assegnati una retta generica r(r'; r"; T1r; T2r) nel primo diedro ed un punto A(A’ ; A") nel primo diedro.
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| Esercizio 1 - Passaggio 1 | Torna in alto | Torna ad esercizio 1 |
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Per il punto A(A’; A”) non appartenente alla retta r si conduce la retta s//r, cioè tale che sia: |
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| Esercizio 1 - Passaggio 2 | Torna in alto | Torna ad esercizio 1 |
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Per completare la rappresentazione descrittiva
della retta s si definiscono anche le relative
tracce. Quindi partendo dai piedi delle tracce
(intersezioni delle proiezioni s’ ed s” con la
lt) si definiscono le due tracce della retta s,
T1s e T2s, geometricamente
punti reali. |
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| Esercizio 1 - Passaggio 3 | Torna in alto | Torna ad esercizio 1 |
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Determinate le tracce (che dal punto di vista
geometrico sono punti reali) della retta s
si collegano le due tracce prime delle
rette r ed s per ottenere un segmento di retta
che definisce la direzione della t1a
su
p1 e le due seconde tracce
delle rette r ed s per ottenere un segmento di
retta che determina la direzione della t2a
su
p2.
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| Esercizio 1 - Passaggio 4 | Torna in alto | Torna ad esercizio 1 |
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Poiché le tracce del piano (t1a) e (t2a) sono rette reali ottenute come:
estendendo all’infinito i segmenti così ottenuti si determinano la tracce del piano a come
Le due rette (tracce del piano) si intersecano sulla lt nel medesimo punto determinando un piano generico nel primo diedro. |
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| Esercizio 1 - Verifiche | Torna in alto | Torna ad esercizio 1 |
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La verifica grafica, eseguita mediante la condizione di appartenenza, risulta essere congruente sia con il problema geometrico (piano per una retta ed un punto ad essa non appartenente), sia con l’aspetto descrittivo (ricerca del tipo di piano), sia con l’aspetto rappresentativo (determinazione delle tracce del piano). I due elementi assegnati r ed A, infatti, appartengono al medesimo piano perché per il punto A passa la retta s che viene determinata parallela alla retta r . Di conseguenza restano verificate le seguenti due leggi dell’appartenenza.
Quindi essendo completamente verificate entrambe le condizioni geometriche dell’appartenenza e del parallelismo:
possiamo asserire che il piano identificato è la risoluzione del problema descrittivo.
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| Esercizio 1 - Risultato | Torna in alto | Torna ad esercizio 1 |
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Dallo studio delle tracce del piano possiamo risalire, poi, alla tipologia descrittiva del piano identificato che si caratterizza, nel caso specifico, come “piano generico nel primo diedro” avente le seguenti caratteristiche geometrico-descrittive.
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Progressione dei passi dell'algoritmo grafico - esercizio n° 2 |
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| Dati | Primo passo | Secondo passo | Terzo passo | Quarto passo | Verifiche | Risultato |
| ESERCIZIO N° 2 - Piano per una retta generica nel secondo diedro ed un punto nel primo diedro | ||
| Esercizio 2 - Dati | Torna in alto | Torna ad esercizio 2 |
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Siano assegnate le proiezioni della retta frontale r(r’; r”; -T1r; T¥2r) collocata nello spazio del secondo diedro e del punto A(A’; A”) collocato nello spazio del primo diedro.
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| Esercizio 2 - Passaggio 1 | Torna in alto | Torna ad esercizio 2 |
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Per il punto A(A’; A”) non appartenente alla retta r si conduce la retta s//r, cioè tale che sia:
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| Esercizio 2 - Passaggio 2 | Torna in alto | Torna ad esercizio 2 |
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Per completare la rappresentazione descrittiva della retta s si definiscono anche le relative tracce. Quindi partendo dai piedi delle tracce (intersezioni delle proiezioni s’ ed s” con la lt) si definiscono le due tracce della retta s, T1s e T2s, geometricamente punti reali.
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| Esercizio 2 - Passaggio 3 | Torna in alto | Torna ad esercizio 2 |
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Determinate le tracce (che dal punto di vista geometrico sono punti reali) della retta s si collegano le due tracce prime delle rette r ed s per ottenere un segmento di retta che definisce la direzione della t1a su p1 e le due seconde tracce delle rette r ed s per ottenere un segmento di retta che determina la direzione della t2a su p2
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| Esercizio 2 - Passaggio 4 | Torna in alto | Torna ad esercizio 2 |
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Poiché le tracce del piano (t1a) e (t2a) sono rette reali ottenute come:
estendendo all’infinito i segmenti così ottenuti si determinano la tracce del piano a come:
Le due rette (tracce del piano) si intersecano
sulla lt nel medesimo punto determinando un
piano generico nel primo diedro. |
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| Esercizio 2 - Verifiche | Torna in alto | Torna ad esercizio 2 |
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La verifica grafica, eseguita mediante la condizione di appartenenza, risulta essere congruente sia con il problema geometrico (piano per una retta ed un punto ad essa non appartenente), sia con l’aspetto descrittivo (ricerca del tipo di piano), sia con l’aspetto rappresentativo (determinazione delle tracce del piano). I due elementi assegnati r ed A, infatti, appartengono al medesimo piano perché per il punto A passa la retta s che viene determinata parallela alla retta r . Di conseguenza restano verificate le seguenti due leggi dell’appartenenza.
Quindi essendo completamente verificate entrambe le condizioni geometriche dell’appartenenza e del parallelismo
possiamo asserire che il piano identificato ci fornisce la risoluzione del problema descrittivo proposto.
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| Esercizio 2 - Risultato | Torna in alto | Torna ad esercizio 2 |
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Dallo studio delle tracce del piano possiamo risalire, poi, alla tipologia descrittiva del piano identificato che si caratterizza, nel caso specifico, come “piano generico nel primo diedro” avente le seguenti caratteristiche geometrico-descrittive.
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