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ALGORITMO GRAFICO PER LA RICERCA DEL PIANO PASSANTE PER UNA RETTA ED UN PUNTO AD ESSA NON APPARTENENTE

 

Ricerca impostata sull'intersezione tra due rette

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1.       Premessa

2.      Struttura dell'algoritmo grafico

3.      Sviluppo dell'algoritmo grafico

4.      Esercitazioni grafiche

4.1.    Esercizio n° 1- Progressione dei passi

4.2..   Esercizio n°2- Progressione dei passi

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1.      Premessa

       Siano assegnati una retta r ed un punto P ad essa non appartenente. Siano essi, quindi, due enti geometrici per i quali condurre un piano a .

       Avendo necessità di definire le quattro tracce (punti) di due rette necessarie per condurre le due rette tracce del piano e avendo a        

       disposizione una retta solamente, si pone il problema di come individuare, tra le infinite rette di una stella con sostegno nel punto P esterno alla     

       retta r data, una seconda retta passante per il punto assegnato e in grado di contribuire alla risoluzione del problema geometrico-descrittivo.

       Allora tra le infinite rette della stella avente il punto (PÏr) come sostegno, se ne sceglie, a piacere, una che interseca la retta data in un punto 

       qualunque a scelta dell’operatore.

      

       In questo modo si ricade nella procedura, già analizzata, della ricerca di un piano passante per due rette incidenti.  

      

       Così operando a conclusione della procedura deve verificarsi:

 

 

Assegnati, quindi, la retta r ed il punto P ad essa non appartenente il problema si risolve mediante i passi sintetizzati nello schema del relativo algoritmo grafico sottostante.

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2.      Struttura dell'algoritmo grafico

 

Algoritmo grafico

 

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3.      Sviluppo dell'algoritmo grafico

 

Progressione dei passi dell'algoritmo grafico - esempio 
Dati 1° Passo 2° Passo 3° Passo 4° Passo 5° Passo 6° Passo Verifica Risultato

 

Sviluppo dell'algoritmo Operazioni grafiche relative
Dati Torna in alto Torna ad esempio

Siano assegnati la retta generica r(r'; r";T1r; T2r) ed il punto (AÏ r) collocati nel primo diedro
  
    

 
Primo passo Torna in alto Torna ad esempio

 

Si sceglie, anzitutto, un punto X( X’; X”) qualsiasi sulla retta r tale che sia (XÎ r)

 

                     

 

   
Secondo passo Torna in alto Torna ad esempio

 

Si definisce, quindi, il segmento AX(A’X’; A”X”). In questo modo si legano la retta r ed il punto A assegnati. Mediante questo segmento di retta la rappresentazione descrittiva viene così sintetizzata:

                        

 

   
Terzo passo Torna in alto Torna ad esempio

Si estende all’infinito il segmento definito al passo precedente trasformandolo in una retta s assegnata mediante le relative proiezioni (s’;s”)

 

           

che contengono il punto X (già appartenente ad r) tanto da avere:

 

             

Con questa operazione si riporta il problema alla ricerca del piano passante per due rette incidenti.

        

    
Quarto passo Torna in alto Torna ad esempio

 

A questo punto si completa la rappresentazione della retta s(s’; s”) definendone anche le due tracce T1s  e T2s

                         

    
Quinto passo Torna in alto Torna ad esempio

 

Ottenute le tracce della retta s  si collegano le due tracce prime per ottenere il segmento che definisce la direzione della t1a su p1 e le due seconde tracce per ottenere il segmento che identifica la direzione della t2a su p2

                                  

    
Sesto passo Torna in alto Torna ad esempio

Poiché le tracce del piano (t1a) e (t2a)  sono rette reali ottenute come:

          

Estendendo all'infinito i segmenti così ottenuti si determinano le tracce del piano a come:

            

    
Verifica Torna in alto Torna ad esempio

             Determinate le tracce rappresentative del piano e controllato che il loro punto d’intersezione sia un punto unito alla lt o un punto improprio, è necessario eseguire la verifica mediante la legge della contenenza che lega i tre elementi: la retta r, il punto A e la retta s come esplicitato dal passo di verifica dell’algoritmo.

 

                                                                                                               

             Si verifica che il piano determinato contiene sia la retta r data sia la retta s che -a sua volta- contiene il punto A. Nel caso dell'esempio si può, quindi asserire che:

 

                                                                                                          perchè   

Risultato Torna in alto Torna ad esempio

             Compiuta la verifica con esito positivo, si possono assumere le tracce del piano come gli elementi geometrici rappresentativi del piano passante per la retta r assegnata ed il punto AÏr

                                                                                                                  

             In questo caso dallo studio delle tracce del piano possiamo risalire, poi, alla tipologia descrittiva del piano che si caratterizza come "piano generico nel primo diedro" avente le seguenti caratteristiche geometrico-descrittive:

                                                                                                                   

risolvendo, così, il problema grafico-descrittivo proposto

 

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4.       ESERCITAZIONI GRAFICHE

          Seguono due applicazioni grafiche con differenti tipologie di elementi geometrici 

 

Progressione dei passi dell'algoritmo grafico - esercizio n° 1
Dati Primo passo Secondo passo Terzo passo Quarto passo Quinto passo Sesto passo Verifiche Risultato

 

 

 

ESERCIZIO N° 1 - Piano per retta generica nel I diedro e punto nel IV diedro
Esercizio 1 - Dati Torna in alto Torna ad esercizio 1

 

Siano assegnati una retta generica r(r'; r"; T1r; T2r) nel primo diedro ed un punto A(A’ º A") nel quarto diedro.

 

               

 

[A’ º A"] significa che il valore numerico della quota e il valore numerico dell'aggetto sono uguali. 
Esercizio 1 - Passaggio 1 Torna in alto Torna ad esercizio 1

Ricordando che una retta è generata da:

                       
si sceglie, a piacimento, un punto (X Î r) tale che sia:

                   
Esercizio 1 - Passaggi 2 - 3 Torna in alto Torna ad esercizio 1

Si costruisce il segmento AX

                    

Si estende, poi, il segmento convertendolo nella retta s della quale si definiscono tutti gli elementi rappresentativi: due proiezioni e due tracce.
                 (s’; s”; T1s; T2s)
Esercizio 1 - Passaggi 4 - 5 - 6 Torna in alto Torna ad esercizio 1

Dopo aver collegato le due prime tracce (T1r +T1s) e le due seconde tracce (T2r +T2s), si estendono questi segmenti trasformandoli in rette che essendo costituite da:

 

identificano il piano a

passante per la retta r ed il punto (AÏr).

Poiché le due rette (tracce del piano) si intersecano sulla lt nel medesimo punto determinano il piano che passa per i due elementi assegnati. 
Esercizio 1 - Verifiche Torna in alto Torna ad esercizio 1

 

            La verifica grafica, eseguita mediante la condizione di appartenenza, risulta essere congruente sia con il problema geometrico (piano per una retta ed un punto ad essa non appartenente), sia con l’aspetto descrittivo (ricerca del tipo di piano), sia con l’aspetto rappresentativo (determinazione delle tracce del piano).

           I due elementi assegnati r ed A, infatti, appartengono al piano perché per il punto A passa la retta s che interseca la retta r nel punto X comune alle due rette. Di conseguenza restano verificate le seguenti due leggi dell’appartenenza.

 

                                                                                                    perchè   

             Quindi resta completamente verificata la condizione

  
Esercizio 1 - Risultato Torna in alto Torna ad esercizio 1


            Dallo studio delle tracce del piano possiamo risalire, poi, alla tipologia descrittiva del piano che si caratterizza come “piano generico nel primo diedro” avente le seguenti caratteristiche geometrico-descrittive

 

 

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Progressione dei passi dell'algoritmo grafico - esercizio n° 2
Dati Primo passo Secondo passo Terzo passo Quarto passo Quinto passo Sesto passo Verifiche Risultato

 

ESERCIZIO N° 2 - Piano per retta frontale nel II diedro e punto nel III diedro
Esercizio 2 - Dati Torna in alto Torna ad esercizio 2

Siano assegnate le proiezioni della retta frontale r(r’; r”; T1r; T¥2r) collocata nello spazio del secondo diedro e del punto A(A’; A”) collocato nello spazio del terzo diedro.

 

              

 

             Fare attenzione alla ingannevole posizione della proiezione A’ che, pur giacendo sulla proiezione r’, non ha alcun legame con la retta data r.
Esercizio 2 - Passaggio 1 Torna in alto Torna ad esercizio 2

Ricordando che una retta espressa come di seguito

 

è generata da un punto dinamico, si sceglie, a piacimento, un punto (X Î r) tale che sia:

 

               
Esercizio 2 - Passaggi 2 - 3 Torna in alto Torna ad esercizio 2

 

Dopo aver costruito il segmento AX(A’X’; A”X”) si estende lo stesso trasformandolo nella retta s della quale si definiscono tutti gli elementi rappresentativi:

 

(s’; s”; T1s; T¥2s)

Si annota come (T¥2s) sia una traccia impropria perché la retta s si caratterizza anche essa come retta frontale.

 
Esercizio 2 - Passaggi 4 - 5 - 6 Torna in alto Torna ad esercizio 2

Si collegano, quindi, le prime due tracce (T1r + T1s).

Estendendo questo segmento si definisce la t1a.

Le tracce (T¥2r) e (T¥2s), essendo punti impropri, evidenziano che le rette r ed s  sono parallele a p2. Pertanto sommando (T¥2r + T¥2s) si ottiene un segmento improprio che esteso genera la traccia (t¥2a) impropria del piano a.

La presenza di (t¥2a) significa che la retta traccia del piano non interseca il piano di proiezione p2 per cui rimarrà ad esso parallela.

Da ciò si evince che essendo la traccia seconda del piano impropria, il tipo di piano risultante sarà un piano frontale (parallelo a p2) nel secondo e terzo diedro.
Esercizio 2 - Verifiche Torna in alto Torna ad esercizio 2

          

              La verifica grafica, eseguita mediante la condizione di appartenenza, risulta essere congruente sia con il problema geometrico (piano per una retta ed un punto ad essa non appartenente), sia con l’aspetto descrittivo (ricerca del tipo di piano), sia con l’aspetto rappresentativo (determinazione delle tracce

del piano).

              I due elementi assegnati r ed A, infatti, appartengono al piano perché per il punto A passa la retta s che interseca la retta r nel punto X comune alle due rette. Di conseguenza restano verificate le seguenti due leggi dell’appartenenza.

 

   perchè      

           Quindi resta completamente verificata la condizione

    

 
Esercizio 2 - Risultato Torna in alto Torna ad esercizio 2

           

             Dallo studio delle tracce del piano possiamo risalire, poi, alla tipologia descrittiva del piano che si caratterizza come “piano frontale passante nel secondo e terzo diedro” avente le seguenti caratteristiche geometrico-descrittive.

 

 

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