Piano geometrico

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PIANO PER DUE RETTE PARALLELE

2. Struttura dell'algoritmo grafico

3. Sviluppo dell'algoritmo grafico

4. Esercitazioni grafiche

4.1. Esercizio n° 1- Progressione dei passi

4.2.. Esercizio n°2- Progressione dei passi

Un piano rimane individuato, in modo univoco, mediante due rette distinte e parallele.

A conclusione del procedimento di applicazione dell’algoritmo grafico è necessario che si verifichi la seguente legge di appartenenza e/o relativa contenenza.

a Ì (r // s) reciprocamente (r // s) Î a

Assegnate, pertanto, due rette distinte e parallele collocate nello spazio del diedro, il problema si risolve sviluppando i passaggi sintetizzati nello schema sottostante del relativo algoritmo grafico.

2. STRUTTURA DELL'ALGORITMO GRAFICO

Algoritmo grafico

3. SVILUPPO DELL'ALGORITMO GRAFICO

Progressione dei passi dell'algoritmo grafico - esempio
Dati	Primo passo	Secondo passo	Terzo passo	Verifica	Risultato

Sviluppo dell’algoritmo	Operazioni grafiche relative
Dati	Torna in alto	Torna a esempio
Siano assegnate due rette r(r’; r”) ed s(s’; s”) parallele collocate nello spazio del primo diedro. Perché siano parallele, per la relativa legge geometrico-descrittiva, tali devono essere le rispettive poroiezioni per cui sarà:
Primo passo	Torna in alto	Torna a esempio
Poiché una retta è pienamente definita, in forma descrittiva, quando si conoscono sia le proiezioni sia le tracce; come primo passo è necessario ricercare le tracce delle rette che, geometricamente, sono punti reali uniti ai piani di proiezione e appartenenti alle proiezioni stesse, per cui si avrà: La determinazione delle tracce si ottiene eseguendo la proiezione dei piedi delle stesse. (Si ricorda che per piede della traccia s’intende l’intersezione di una proiezione con la linea di terra).
Secondo passo	Torna in alto	Torna a esempio
Si ricorda, anzitutto, che le tracce di un piano sono rette; inoltre per definire una retta è necessario conoscere due punti. Nel nostro caso collegando (sommando) le due tracce prime si ottiene la traccia prima del piano a su p₁ e collegando (sommando) le due tracce seconde si ottiene la seconda traccia del piano a su p₂ come sintetizzato di seguito:
Passo terzo	Torna in alto	Torna a esempio
Le tracce del piano (t₁a) e (t₂a) sono rette reali ottenute come: Estendendo i segmenti di cui al passo precedente si determinano le due tracce (t₁a) e (t₂a) del piano passante per le due rette assegnate: La verifica che le rette definiscano un piano si ha se le tracce intersecano la lt nel medesimo punto (punto unito alla lt). In alternativa le tracce devono essere parallele alla lt, significando che l’intersezione avviene in un punto improprio.
Verifica	Torna in alto	Torna a esempio
Definite le due tracce rappresentative del piano e controllato che s’intersecano sulla lt nel medesimo punto, è necessario effettuare la verifica mediante la legge della contenenza tra piano e retta espressa descrittivamente come segue: mentre verbalmente si dice che: “un piano contiene una retta se, e solo se le tracce del piano contengono le rispettive omonime tracce della retta”; come verificato.
Risultato	Torna in alto	Torna a esempio
Eseguita la verifica con esito positivo si possono assumere le tracce del piano come gli elementi geometrici rappresentativi del piano passante per le due rette parallele assegnate r ed s in quanto accade che:

ESERCITAZIONI GRAFICHE

Seguono due applicazioni grafiche con diverse tipologie di rette collocate in differenti diedri ed assegnate mediante le proiezioni.

Esercizio n° 1 - Progressione dei passi dell'algoritmo grafico
Dati1	Passo primo1	Passo secondo	Passo terzo1	Verifiche1	Risultato1

Esercizio n° 1 - Piano per due rette generiche parallele collocate nel primo diedro
Esercizio 1 - Dati	Torna in alto	Torna a esercizio 1
Siano assegnate le proiezioni di due rette generiche r(r’; r”) ed s(s’; s”) collocate nel primo diedro e parallele tra loro. Si ricorda che la condizione di parallelismo tra rette sussiste se tali sono le rispettive proiezioni.
Esercizio 1 - Passaggio1	Torna in alto	Torna a esercizio 1
Individuati i piedi delle tracce (intersezioni delle proiezioni con la lt) si determinano le tracce delle rette come punti reali uniti ai piani di proiezione e appartenenti alle rispettive proiezioni: (T₁rÎr'), (T₂rÎr”) (T₁sÎs'), (T₂sÎs”)
Esercizio 1 - Passaggio 2	Torna in alto	Torna a esercizio 1
Definite le tracce delle due rette, collegendo (T₁r +T₁s) si ottiene il segmento di retta relativo alla traccia del piano a su p₁, collegando (T₂r +T₂s) si ottiene il segmento di retta relativo alla traccia del piano a su p₂. In questo modo si determinano le direzioni delle due tracce del piano che, per essere tali, devono intersecare la lt nel medesimo punto (punto reale unito alla lt).
Esercizio 1 - Passaggio 3	Torna in alto	Torna a esercizio 1
Estendendo i due segmenti di retta, di cui al passaggio 2, si determinano le rette (t₁a) e (t₂a) come tracce del piano a assegnato mediante due rette parallele (r // s). Che le due rette sono tracce del piano è confermato dalla intersezione di queste con la lt nel medesimo punto. Il controllo si conclude con la verifica di appartenenza delle rette al piano (r // s) Î a.
Esercizio 1 - Verifiche	Torna in alto	Torna a esercizio 1
La verifica grafica, eseguita mediante la condizione di appartenenza, risulta essere congruente sia con il problema geometrico (piano per due rette parallele), sia con l’aspetto descrittivo (ricerca del tipo di piano), sia con l’aspetto rappresentativo (determinazione delle tracce del piano). Le due rette assegnate r ed s, infatti, appartengono al piano perché le rispettive tracce (due tracce prime e due tracce seconde) appartengono alle omonime tracce del piano (traccia prima di a e traccia seconda di a). Inoltre le due rette (r, s) sono parallele perché le proiezioni della retta r (r’,r”) sono parallele alle rispettive omonime proiezioni della retta s(s’,s”). Quindi resta completamente verificata la condizione:
Esercizio 1 - Risultato	Torna in alto	Torna a esercizio 1
Dallo studio delle tracce del piano possiamo risalire, poi, alla tipologia descrittiva del piano che si caratterizza come “piano generico nel primo diedro” avente le seguenti caratteristiche geometrico-descrittive.

Esercizio n° 2 - Progressione dei passi
Dati2	Primo passo2	Secondo passo2	Terzo passo2	Verifica2	Risultato2

Esercizio n° 2 - Piano per due rette frontali nel primo diedro
Esercizio 2 - Dati	Torna in alto	Torna a esercizio 2
Siano assegnati i seguenti elementi geometrici tutti collocati nello spazio del primo diedro. Retta frontale r (r’;r”) Retta frontale s (s’;s”) Si ricorda che una retta si definisce frontale quando è parallela al piano p₂e obliqua al piano p_1. La formalizzazione geometrico-descrittiva della retta frontale assume il seguente aspetto: (rÐp₁//p₂) // (sÐp₁//p₂)
Esercizio 2 – Passaggio 1	Torna in alto	Torna a esercizio 2
Individuati i piedi delle tracce (intersezioni delle proiezioni con la lt) si determinano le tracce delle rette come punti reali uniti ai piani di proiezione e appartenenti alle rispettive proiezioni delle due rette (T₁rÎr'), (T ^¥₂rÎr”) (T₁sÎs'), (T ^¥₂sÎs”) Da notare che essendo le rette r ed s parallele a p⁺₂le traccie seconde diventano punti impropri indicati come (T ^¥₂r) e (T ^¥₂s) . Mi preme ricordare - a tal proposito - che al concetto di punto improprio deve essere sempre associato il concetto di parallelismo tra rette.
Esercizio 2- Passaggio 2	Torna in alto	Torna a esercizio 2
Definite le tracce delle due rette, collegando (T₁r +T₁s) si ottiene il segmento di retta relativo alla traccia del piano a su p_1. Poiché le tracce seconde delle rette sono improprie la traccia seconda del piano sarà una retta, parallela alle proiezioni di queste, applicata nel punto in cui la t₁a interseca la lt. In questo modo si fissano le due tracce del piano.
Esercizio 2 – Passaggio 3	Torna in alto	Torna a esercizio 2
Estendendo il segmento, di cui al passaggio 2, su p₁ si determina la retta (t₁a) mentre (t₂a) si ottiene mediante una retta parallela alle seconde proiezioni r” ed s” applicata nel punto unito sulla lt in cui la t₁a interseca la lt. Essendo entrambe le tracce seconde punti impropri, il punto di applicazione della (t₂a) -che deve essere un punto reale- va ricercato sulla lt dove questa si interseca con la (t₁a). Il controllo si conclude con la verifica di appartenenza delle rette al piano definito (r // s) Î a
Esercizio 2 - Verifica	Torna in alto	Torna a esercizio 2
La verifica grafica, eseguita mediante la condizione di appartenenza, risulta essere congruente sia con il problema geometrico (piano per due rette parallele), sia con l’aspetto descrittivo (ricerca del tipo di piano), sia con l’aspetto rappresentativo (determinazione delle tracce del piano). Le due rette assegnate r ed s, infatti, appartengono al piano perché le rispettive tracce (due tracce prime e due tracce seconde) appartengono alle omonime tracce del piano (traccia prima di a e traccia seconda di a). Inoltre le due rette (r, s) sono parallele perché le proiezioni della retta r (r’,r”) sono parallele alle rispettive omonime proiezioni della retta s(s’,s”). Quindi resta completamente verificata la condizione:
Esercizio 2 - Risultato	Torna in alto	Torna a esercizio 2
Dallo studio delle tracce del piano possiamo risalire, poi, alla tipologia descrittiva del piano che si caratterizza come “piano generico nel primo diedro” avente le seguenti caratteristiche geometrico-descrittive