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PIANO  PER  TRE  PUNTI  NON  ALLINEATI  E  NON  COINCIDENTI

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1.      Premessa

2.      Struttura dell'algoritmo grafico

3.      Sviluppo dell'algoritmo grafico

4.      Esercitazioni grafiche

4.1.    Esercizio n 1- Progressione dei passi

4.2..   Esercizio n2- Progressione dei passi

 

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1. PREMESSA

Perch i punti assegnati definiscano il piano, deve accadere che i punti appartengano al piano, quindi deve verificarsi, a conclusione della procedura, la seguente legge di appartenenza e/o relativa contenenza.

Assegnati, pertanto, tre punti comunque collocati nello spazio dei diedri, il problema si risolve sviluppando i passaggi sintetizzati nello schema sottostante del relativo algoritmo grafico.

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2. STRUTTURA DELL'ALGORITMO GRAFICO

Algoritmo grafico e relativi passi operativi 

 

 

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3. SVILUPPO DELL'ALGORITMO GRAFICO

 

Progressione dei passi- esempio
Dati Primo passo Secondo passo Terzo passo Quarto passo Verifica Risultato

 

Sviluppo dellalgoritmo

Operazioni grafiche relative

Dati

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Torna a esempio

Siano assegnati tre punti A(A; A), B(B; B), C(C; C) comunque collocati nello spazio dei diedri. I punti possono essere collocati, indifferentemente, nel medesimo diedro o in diedri differenti.

 

Primo passo

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Ricordando che per due punti, non coincidenti, passa una ed una sola retta, si definiscono per i punti assegnati due segmenti distinti appartenenti a due rette x ed y, secondo la legge di appartenenza, come di seguito esplicitato:

          (AB x);    (BC y)

(AB x)
(BC y)
Secondo passo

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Estendendo i segmenti definiti mediante le  proiezioni dei punti A,B,C assegnati (essi rappresentano gli estremi dei segmenti) si completa la rappresentazione delle rette x ed y definendone le tracce come di seguito.

Passo terzo

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Poich le tracce del piano (t1a) e (t2a)  sono rette reali ottenute come

sommando le due tracce prime e le due tracce seconde si definiscono due segmenti che identificano le direzioni delle tracce, del piano che si ricerca, sui piani di proiezione p1 e p2 

Passo quarto

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Estendendo i segmenti, identificati al passo precedente, si determinano le due tracce del piano  (t1a e t2a) che intersecano la linea di terra (lt)  nel medesimo punto.

Verifica

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Definite le due tracce rappresentative del piano e controllato che si intersecano sulla lt nel medesimo punto, necessario effettuare la verifica mediante la legge della contenenza tra punto e piano espressa come di seguito:

Risultato

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Effettuata la verifica con esito positivo si possono assumere le tracce del piano come gli elementi geometrici rappresentativi del piano passante per i tre punti (A, B, C) assegnati in quanto accade che:

come era richiesto dal problema descrittivo

 

 

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 ESERCITAZIONI  GRAFICHE  

Seguono due esemplificazioni grafiche con i punti collocati in differenti diedri ed assegnati mediante i valori di quota ed aggetto.

Esercizio n 1 - Progressione dei passi
Dati1 Primo passo1 Passi due e tre1 Passo quattro1 Verifiche Risultato1

 

Esercizio n 1 - Piano per tre punti collocati in tre diversi diedri

Esercizio 1 - Dati

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Siano assegnati i seguenti punti, nei differenti diedri, mediante i valori di quota ed aggetto.

 

 Primo diedro

A(A=58,5; A=30,0)

 

 Secondo diedro

B(B=-40,9; B=97,5)

 

 Quarto diedro

C(C=78,0; C=-58,5)

 

Esercizio 1 - Passaggio1

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Si individuano due segmenti consecutivi aventi, ad esempio, il punto B in comune.

 AB(AB: AB)

 BC(BC; BC)

 

Esercizio 1 - Passaggi 2 e 3

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Torna a esercizio 1

Estendendo i segmenti si definiscono tutti gli elementi descrittivi delle rette che li contengono ed in particolare le tracce.

Per (AB r) si ha: 

[(ABr),(ABr)]

[(T1rr), (T2rr)]

Per (BC s) si ha:

[(BCs),(BCs)]

[(T1ss),(T2s s)]

Esercizio 1 - Passaggio 4

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Con il passaggio precedente si individuano quattro tracce che, geometricamente, sono quattro punti reali.

Poich per definire una retta sono necessari due punti distinti, collegando (T1r +T1s) si determina t1a.

Allo stesso modo collegando (T2r +T2s) si determina t2a.

Le due rette (tracce del piano) devono intersecare la lt nel medesimo punto (punto unito).

 Il piano che si determina sulla base dei punti assegnati un piano generico nel primo diedro espresso in forma descrittiva come segue:

a (p+1 p+2) 

Esercizio 1 - Verifiche 

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La verifica grafica, effettuata mediante le condizioni di appartenenza, risulta congruente sia con il problema geometrico (piano per tre punti) sia con il fine  descrittivo (ricerca del piano) che con l'aspetto rappresentativo (definizione delle tracce).

Le due rette (r ed s), infatti, appartengono al piano perch le rispettive tracce (punti reali) stanno sulle tracce del piano (rette reali) e i punti assegnati appartengono alle rette in quanto le proiezioni degli stessi stanno sulle rispettive proiezioni delle rette.

Quindi possiamo sintetizzare che (A,B,C)(r,s)a e pertanto poich (A,B,C)a, il piano passa per i tre punti (A, B, C) assegnati.

 

Esercizio 1 - Risultato

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Dallo studio delle tracce del piano possiamo risalire, poi, alla tipologia descrittiva del piano che risulta essere un "piano generico nel primo diedro" con le seguenti caratteristiche geometriche: 

( p 1+ p2+ )

 

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Esercizio n 2 - Progressione dei passi
Dati2 Primo passo2 Passi due e tre2 Passo quarto2 Verifica2 Risultato2

Esercizio n 2 - Piano per tre punti collocati in tre diversi diedri

Esercizio 2 - Dati  

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Siano assegnati i seguenti punti A(A; A), B(B; B), C(C; C) nei differenti diedri, mediante i valori di quota ed aggetto.

Primo diedro

A(A=60; A=90)

  

Secondo diedro

B(B=-40; B=90)  

 

Quarto diedro

C(C=80; C=-60)

 

Esercizio 2 Passaggio 1

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Si individuano due segmenti consecutivi aventi, ad esempio, il punto B in comune. 

AB(AB: AB)  

BC(BC; BC)  

 

Esercizio 2- Passaggi 2 e 3

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Estendendo i segmenti che hanno per estremi i punti assegnati si definiscono tutti gli elementi descrittivi delle rette che li contengono ed in particolare le tracce T1r; T2r, T1s; T2s delle rette r ed s contenenti i segmenti.

Per (ABr) si ha: 

[(ABr),(ABr)]

[(T1rr), (T2rr)]

 Per (BCs) si ha:

[(BCs),(BCs)]

[(T1ss), (T2s s)]

Esercizio 2 Passaggio 4

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Con il passaggio precedente si individuano quattro tracce che, geometricamente e generalmente sono quattro punti reali.

In questo caso, per, la traccia T1r un punto improprio; ci vuol dire che la retta r parallela a p1 (quindi una retta orizzontale) e pertanto la traccia t1a avr come punto di applicazione la T1s mentre la T1r ci suggerisce che la direzione della t1a si disporr in modo parallelo ad r perch (T1r r).

 Allo stesso modo collegando (T2r +T2s) si determina t2a.

 Le due rette (tracce del piano) devono intersecare la lt nel medesimo punto (punto unito). 

Il piano che si determina con i punti assegnati un piano generico nel primo diedro che, sinteticamente, descriviamo nel modo seguente: a (p+1 p+2 )

 

Esercizio 2 - Verifica

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La verifica grafica, effettuata mediante le condizioni di appartenenza, risulta congruente sia con il problema geometrico (piano per tre punti) sia con il fine  descrittivo (ricerca del piano) che con l'aspetto rappresentativo (definizione delle tracce).

Le due rette (r ed s), infatti, appartengono al piano perch le rispettive tracce (tre punti reali ed un punto improrio (T1r) stanno sulle tracce del piano (rette reali) e i punti assegnati appartengono alle rette in quanto le proiezioni degli stessi stanno sulle rispettive proiezioni delle rette.

Quindi possiamo sintetizzare che (A,B,C)(r,s)a e pertanto poich (A,B,C)a, il piano passa per i tre punti (A, B, C) assegnati.

Essendo la retta r una retta orizzontale, la (T1r) un punto improprio; pertanto la t1a si identifica mediante una retta parallela ad r' applicata nel punto T1s.

Esercizio 2 - Risultato

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Torna a esercizio 2

Dallo studio delle tracce del piano possiamo risalire, poi, alla tipologia descrittiva del piano che risulta essere un "piano generico nel primo diedro" con le seguenti caratteristiche geometriche: 

( p 1+ p2+ )

 

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